Менделеев Д.И. Рассуждение о соединении спирта с водой, СПб.:1865

— 117 —

а потому, при I = 15,

Ф (Р>¹) = ^Ѳ15 ^Р)-

Чтобы найти среднее значение Ѳ_И5 (р), я иостунил так: сложил данные из опыта значения ф (р, 4) и разделил на 4, что и будет справедливо, если уравнение XXIX справедливо; потому что 15° лежит как раз в средине между данными значениями ф (р, I). Но так как значения ф (р, I) заключают в себе неодинаковую погрешность, то этот способ должно было немного изменить, соображаясь с весом разных значений ^ (р, 4). Предположим, что в данных 8₍ заклшчается погрешность А, тогда в значениях ф (р, I) будет заключаться погрешность

А__

(15-1) р (1 —р) '

Следовательно, значения ф (р, 4) для 0° и 30° будут заключать в три раза меньшую погрешность, чем значения для ИО" и 20°, а потому весь чисел данных в столбцах 1 и 4-м в девять раз более, чем в столбцах 2 и 3-м. Поэтому соображению, для нахождения опытного значения Ѳ₁₅ (р), я брал среднее следующим образом: 9 раз взятые значения 1 -го столбца, сложены со значениями 2-го н 3-го столбцов и с 9-ти кратным значением 4-го столбца. Полученная сумма была разделена на 20, что п дало значения Ѳ₁₅ (р). Значения, полученные таким образом для Ѳ,₅ (р) приведены в таблице в

5-м столбце. Они интерполированы относительно р по способу наименьших квадратов приемом Че-бышева, приняв величину для р = 0,5за несомненную '), что и дало значения:

е_и5 (р) = 118,9 - 5,87 х—1,037 х²-Ь0,2381 х³ —0,00070 х⁴ —0,000716 х⁵ . . . ХЬ,

где х = 20р — ИО, как в прошлом интерполировании. Между Формой кривой Ѳ₁₅ (р) нР_о (8,р) (стр. 112) замечается большое сходство, что вероятно зависит от сущности явления. Из ХЕ находим, подставляя вместо х его значение:

9₁₅ (р) = — 99,6 -ь 1066,3 р — 577,3 р² — 3596,6 рЧ- 5613,8 р⁴— 2290,6 р⁵ . . ХИЛ.

Этой Формуле соответствуют значения 9 (р), приведенные в таблице в 6-м столбце.

Когда они стали известны, то очевидно (по формуле XXXIX) что

л /„\ _ ф(р,*)-9иг,(р) .

% (Р) —-Г5^и-

Вычисляю из данных таблицы этй величины и привожу средние пз них в предпоследнем столбце предшествующей таблицы. Средния величины найдены сообразно с весом данных, подобно тому, как

’) Причины, заставившия меня принять значение (р), при р = 0,5 за несомненное, те же что и для интерполирования описанного на стр. 109. Сходство Функций особенно побудило к тому. Все приемы Пыли употреблены те же, как для интерполирования Е₀ ($,р) Чтобы пользоваться значениями (0,2) (0,4) .... (2,2), (0,4) . . . . , которые были приведены на стр. 112, я перенес начало мордовать в 0,5, принял х = 20 р — ИО, отмокать значения 5,₅ (р) при р = 0 и нри р = 1 (а именно, при р = 0, = —100, при р = 1 =ч 120) и интерполируя нашел, что

и = — 117,38 — 20,740 х -+- 4,7612 х² — 0,01406 х^а - 0,014316 х\

Так-как

(р)-118,9 , ^и Р — 5

то 0₁₅ (р) =118,9 - 1,037 х² - 0,00070 х*+х (—5,87-4-0,2381 х²- 0,000716 х⁴).

Но этой-то Формуле (равнозначащей с Формулой ХЬ) и ртъисканы значения (р), приведенные в таблице в 6-й графе. Для описываемого интерполирования значения вспомогательных чисел, кроме приведенных на стр. 112 и 113, суть:

— 118 —

найдены числа 5-го столбца. Эти значения интерполированы по р (подобно двум предшествующим пн* терполированиям) и дали выражение:

Ѳ, (р) = — 0,74 Н- 7,67 р — 8,77р².......ХЫИ.

Но этой Формуле вычислены для данных р значения О, (р), приведенные в 8-м столбце предшествующей таблицы. Несомненно, что это последнее вычисление проведено недостаточно далеко.

Чтобы видеть, на сколько удовлетворяет приведенный способ интерполирования данным опыта, вычисляю по Формулам ХХХУИ и XXXIX удельные веса, подставив найденные значения Функций.

Средняя погрешность равна 8,4, но для 30% (прииО⁰), для 40% (при 20°) п для 9 0% (при 0°) заметна значительная разность, показывающая недостаточность Формул, употребленных нами. Когда буду иметь время, постараюсь отъпскать выражение на столько же удовлетворяющее Факту, как и ХХХУ.

II так Формула, соответствующая ХХХУИ. и с некоторой точностию выражающая изменение удельного веса разных смесей спирта и воды, в зависимости от содержания безводного сппрта (р в долях единицы) и от температуры (1° Ц.,) есть (по Формулам от ХХХУ до ХЫИ) следующая:

8, = 99918 — 19020,8 р + 23314,6 р² Ч- 171066, 4 р³ — 1397990,4 р⁴ -+- 3650773,6 р⁵ —

— 4509990,4 р^Г| -4- 2223312 р⁷ + 621600 р⁸ — 1126144 р^я + 342528 р¹⁰ +

-К (15 - I) 4,67 -Ь 0,7105 I — 0,00376 I² -+-р [79,20 — 0.6767 1 + 0,003541² -+-•+- (¹ — Р) I — ";⁶ + 1066,3 р — 577,3 р² — 3596,6 р³ -+- 5613,8 р⁴ — 2290,6 р⁵

+ (15 — и) (— 0,74 + 7,67 р - 8,77 р²) | ]

Здесь 8₍ есть удельный вес прп температуре Г, Ц., принимая воду прп наибольшей ея плотности за 100000.

Эта Формула все-таки есть одна из простейших параболических Формул, выражающих значение 8₍, с точностию доступной опытам.