— 109 —
При составлении средних чисел я держался правила, которое приведено на стр. 86, т.-е. брал данные, принимая во внимание вес наблюдения. Каждое число было исправлено порознь, помножено на вес и тогда взято среднее.
На приведенную таблицу должно смотреть как на практический результат определений. Здесь не введено нп одно число невзятое из чистого опыта (оттого невзяты для низших спиртов данные Ге-Люссака). Если в этих числах и заключаются малые поправки, происшедшия вследствие того, что опыты производились при температуре отличной от 15° и вследствие того, что при смешении содержание сппрта не было равно кратным числам, данным в таблице, то эти поправки столь малы и найдены столь точным путем, что от этих поправок прямой результат опыта не изменился в своем достоинстве. Чтобы оставаться верным этому принципу, я взял для 40,45 и 50°/о спирта удельные веса, прямо определенные поданным, а не те, которые выводятся из Формулы выражающей сжатие от 40 до 54"|0. Таким образом в числах приведенной таблицы заключаются такия же погрешности, как и в прямых данных опыта. Принимая наибольшую погрешность данных Гильпина (для низших спиртов) равной 15 , для данных Дринкуотера равную 6 п определяя по моим опытам наибольшую погрешность каждого определения, я нашел (взявшп среднюю величину), что наибольшая погрешность чисел приведенных в таблице (исключая безводный спирт и воду) равна 4,3. Интерполирование было ведено до тех, пор пока средняя погрешность вычисления ]) не была меньше наибольшей средней погрешности опыта. Притом соблюдалось и то, чтобы для каждого значения переменной, вычисляемое значение удельного веса не отличалось от наблюденного более чем на величину наибольшей погрешности наблюдения. Только прп такого рода интерполировании можно результатам интерполирования придавать болыншее доверие, чем числам прямого наблюдения. Этим только и могла достигаться цель интерполирования, которое произведено для всех смесей спирта с водой. Цель же была двоякая: найдтп эмпирическое выражение зависимости для изменения удельного веса с изменением процента спирта и устранить мелкия неправильности, рассеянные в ряду данных опыта.
Чтобы произвести интерполирование для всех значений р от 0 до 100, я принял удельные веса воды и безводного сппрта за несомненные (как на стр. 99), для р принял значения от 0 до 1, а неотъО до 100 (чрез что получались весьма неудобные для счета цифры), и наконец принял удельный вес воды за 100000. Прежде всего были отысканы значения
5—9991820551
--=Р0 ЗД.
Когда величины, полученные этим путем, были подвергнуты интерполированию, то оказалось неудобство двоякого рода: во-первых от быстрого перегиба кривой, а во-вторых, от того, что погрешность в Рц (8, р) весьма неодинакова, при разных значениях р, если допустить одинаковую погрешность в 8. Так, если 8 изменить прп 100/о на 3, то Р0 (8, р) изменится от этого на 33 (прп значении = 5023), а если 8 изменить на 3 прп 50°|о, то от этого значение Р0 (8,р) (а именно 8614) изменится только на 14. Эта неравномерность распределения погрешности оказывает в практике вычисления огромное затруднение. Чтобы избежать его, я пробовал разные методы и остановился на одной, которая дала наилучшие результаты. Она состоит в том, что значение 8, а следовательно и Р0 (8, р) принято при р = 0,5 (50"/о) за несомненное. Это допущение, очень упростившее интерполирование, можно было сделать потому, что значение 8 при 50°'ц определено по 3-м данным весьма близким между собой. 8 при р = 50°/0 равно 91 7 9 6, следовательно Р0 (8,р) =8614. Приняв это число за несомненное, я перенес начало коордонат по оси абсцисс (где отложены проценты) в точку, соответствующую этому несомненному значению, а имен-
’) Легко определяется из суммы квадратов погрешностей, находимых при употреблении способа ЧеОышева, из вычисляемой для каждого члена суммы квадратов погрешностей.
— 'НО —
но все проценты изменены в р—0,5. Чтобы еще более облегчить весьма сложные вычисления, значения абсцисс увеличины в 20 раз, т.-е. принято, что
х = 20 (р — 0,5) = 20 р — ИО.
Тогда получился ряд простейших чисел для данных х-ов, а именно — ИО, — 9, — 8 . . . . 0,1.2,.... 9,10. Это перенесение начала коордонат, значительно упростило интерполирование, потому что но способу Чебышева, без которогок онечно мне невозможно было бы и сделать этого интерполирования, все значения ; (стр. 91), (0,1) (0,3) .... (1,2), (1,4) .... (2,3), (2,5) .... были равны О, отчего все вычисления сократились, по крайней мере, в два раза.
Приняв значение Р„ (р, 8) прп х = О (то есть при р = 0,5) за несомненное, должно было отыскать значения
8014- = ^ ^
Кривая, выражающая эту Функцию, не имеет такого перегиба, как кривая выражающая Р0 (8, р) и потому вычисляется более удобно. При увеличении 8 на 3, значения Р,(8,р) изменялись так: при р = 0,1 (х = — 8), Р1 (8, р) изменяется на — 4,2 (при значении 449): при р = 0,30 (х = — 4) изменяется на — 3,6, при р = 0,80 (х = 6) изменяется наЧ- 3,1; при р = 0,9 (х = 8) па 4,2. Следовательно, изменения в Р1 (8, р) почти одинаковы при разных значениях р или х, что весьма облегчает вычисление. Если среднюю погрешность в удельном весе назовем А, то погрешность в Р1 (8, р), говоря точно, равна
А
р (1 — р) х
Чтобы найдти среднюю погрешность в Р4 (8, р) найдем значение.
п Д
2 р (1 — р)Х *
Оно равно (конечно не принимая во внимание знака Ч- или —)
1?-д — а и 46 12,32
Так-как наибольшая погрешность в удельном весе = 4,3, хо наибольшая (средняя) погрешность к Р1 (8, р) равна 6,28. Интерполирование было ведено до тех пор, пока средняя погрешность вычисления не была менее этой величины.
Мне остается упомянуть еще об одном обстоятельстве. Значения Р0(8, р) и Р (8, р) при р = О и при р = 1 не могут быть прямо получены из данных, так например для р = О:
99918 -«19918 , 0,.ГР1 -«--1— 20551
Р„ (8, О) =-^^-•
Значение прямо неопределяемое. Не вводить же величин Р0 (8, р) и Р1 (8, р) для крайних точек кривой — значит рисковать иметь большия отступления от опыта для значений р, близких к О и 1. По этой причине частными иитерполированиямн значений Р0(8,р) около значений р = 0 и р = 1 были найдены значения Р0 (8, р) и для этих точек. Для нахождения Р0 (8,р) при р = О взяты были данные Дринкуотера. Вот они:
