— 91 —
а потому последовательно оттаскиваем:
(О, 5) = 2х.5 = 22083; (0,6) = 2х/' = 387274.
(1,4) = (0,5) - ^(0,4) = 19810; (1,5) = (0,6) — Ь, (О, 5) = 379524.
(2,3) = (1,4) — 2(1, 3) ■— а2(0,3) = 8234,4; (2,4) = (1,5)- Ь2(1,4)- а2 (0,4) = 209371,7.
». = (РИ =|7-8"2 * ь>=Ш ь*= '>03083-
(3,3) = (2,4) - |,,(2,3) - а, (1,3)= 5308»,8.
2и.х3 = 393075.
I и
К3 = - (О, Э)к„- (1,3,1 к,-12,3)К; _ _ () 34,993
'К, (х) = (х—Ь3) Ѵ2(х) — а3У, (х) = х, — 2,0738 х2— 35,0695 х -Ь 25,1 К:) У (х) =— 8,72 Н- 12,272х -+- 0,7259 х2—0,34993 х3.
2<132 = 2Й/— (3,3) К:и2 = 3599.
Отсюда определяем погрешность вычисления с четырьмя членами:
Е,= |/Л2,1,’= 17.
Эта средняя погрешность вычисления столь мала сравнительно с наибольшею погрешности опыта, что с большею вероятностию можно признать достаточность вычисления, основанного на употреблении 4-х членов выражения XIX. Дальше идти в интерполировании не для чего. Потому суммируя все члены, найдем, что ’)
и = К„ Ѵ„(х) -+- К, У, (х) Н- К.,Т2(х) Н- К, (х) = 26,5 -+- 5,09 х+ 20,921 х2— 0,3499х3.....XX.
Это уравнение выражает, в пределе наибольшей погрешности наблюдений, с точностию Факт сжатия от 40 до 54"/п веса, то есть от х= — 6 до х = 8.
Подставляя в выражение XX вместо и и х их значения, получим выражение зависимости сжатия (С) от процентного содержания спирта (р) прп 0°, справедливое для содержания спирта от 40 до 54"/(И по весу:
С = 4,1473 —0,00051 (р—46) — 0,002092 (р —46)4-0,000035 (р —46)3 .... XXI.
’) Я нарочно привел здесь детали вычисления по способу Чебышева, не только для того, чтобя хотя в одном месте принести пример того вычисления, которое на следующих страницах столь часто употребляется, но также и потому, что этот мало еще известный способ интерполирования представляет огромные выгоды, донуская легкую возможность остановиться на том или другом порядке, основываясь на знании погрешностей наблюдения и вычисления.. Полагаю, что для всех точных наблюдений весьма важно прилагать этот способ. Желая содействовать распространению этого изящного метода вычисления, привожу детали этого способа. Чтобы дополнить данные, относящияся к этому способу, приводим элементы, нужные для вычисления ш-того члена (общого), то есть для определения Кт'Кт(х).
0, 2т —1и = За-,*"—» ; (0,2т) = 2х,-2т.
(1,1т—2) = (0, 2т—1) — Ь, (О, 2т—2); (1, 2т—• 1) = (0,2т) — I), (0,2т—1).
(2,2т—3) = (1, 2т—2) — Ь2 (1, 2т—3) — а2 (О, 2пи—3) ; (2, 2т—2) = (1.2т—1) — Ь2 (1, 2т—2) — а2 (О, 2т—2).
(3,2т—4) = (2, 2т—3) — Ь3 (2, 2т—4) — а* (1,2т—4) ; (3, 2т—3) = (2,2т—2) — Ь3 (2, Зт—3) — а3 (1, 2т—3).
„ _ (т—1, т—1) _ ь _ (т-1, т)
ат — ,--—г ч И'тп — ---7“ — И)т—и — Юга—2 —.....— *'2 — -
(ип—2, т—г) (т—1, т—1)
(т, т) = (т—1,т—1)— Ьт(т—1,т)— ат(т—2, т).
2х,»чии— (0,т)К„— (1,т Ки-—.....— (т—1, ш)Кя_и
К/7И - ---—--——---——------*-
(Ш, 111
Ч7 (х) = (х —Ьт) 'Ут—, (х) — йт Шт—2 (х).
2(1т3 = 2(ит“—и — (т, 111) Кт2.
Ет= у - Зс!п2.
г II
— 92 —
Это выражение дает сжатие с наибольшею погрешности, равной 0,005.
Чтобы найдти значение р„„ прп котором происходит наибольшее сжатие, берем производную и полагаем ровной пулю.
0 = — 0,00051 — 2.0,002092 ирм — 46) н- 3 . 0,000035. (ри1 — 46)*.
0 = — 51 —418,4 (рм — 46) + 10,5 (рм — 46)2.
Решая это уравнение относительно (рт — 46), найдем, что
(рм — 46) = 19,92 ±— |/397,0 -+- 4,9.
Гак как при -+- получается значение вне предела нашего исследования, то отъискпваемое значение соответствует минусу, а потому
(р — 46) = 19,92 — 20,04 = — 0,1 2;
следовательно
Р* = Никак велика погрешность этого определения'? Делая погрешность в сжатии Д(С), мы, конечно, делаем погрешность и в определении рт. Определим ея значение в данном нам случае.
Мы нашли, что сжатие в пределе от 40 до 54°/0 выражается параболическим выражением третьяго порядка от (р — 46)
С = аЧ-Ь(р — 46)Н-с(р — 46)2Н-(1(р — 46и3.....XXII.
Далее мы нашли, что процент, соответствующий гаахишшп, т. е. рм, близок к 46. Это возможно тогда только, когда коэффициент I) мал и когда при наибольшем коэффициенте с, стоит знак отрицательный. Пользуясь этим, легко определить но погрешности сжатия Д(С), погрешность в определении процента ри. Этот процент найдем но уравнению:
О = Ь -Н 2с (рт — 46) -ь 3(1 (р 4 — 46)2, ....... XXIII.
откуда
(Р*.— 4'6)2_ь^(Р>,.
а следовательно:
р _ 46 = - ^и-Ч- и/ ___ь.........XXIV.
Ѵ"‘ * !)(12 3(1
Если в сжатии есть погрешность Л (С), то она будет заключаться в первой части уравнения XXIII следовательно истинный процент, которому соответствует наибольшее сжатие р /, найдется, по уравнению:
А (С) = 1)4- 2с (ры 1 — 46)4- 3(1 (рли 1 — 46)2
откуда,
<Р„,' — 4(и) — — ш Н- — ^г)-Ь
Развертывая корень в строку и пренебрегая членами, в которых Д(С) входит в квадрат, куб и т. д., получим:
__МС)_
(р«1 — 46) = — Ж ‘■+" Т ./-,5-^Т........ХХУ-
' зТГ
Вычитая ХКИѴ из XXV, получаем значение погрБшчости в определении рм
