— 94 —
сжатие происходит при рт = 46, т. е. тогда, когда р„( — 46 = 0. Значение р.(и, для которого происходит наибольшее сжатие определится из уравнения:
О = Ь-4- 2с (р ■— 46)-+- 3(1 (ри;и — 46)'.
Мы допускаем, что р — 46 = О, следовательно при этом допущении
0 = Ь,
т. е. коэффициент при переменной (ри — 46) в первой степени равен нулю, если наибольшее сжатие соответствует 46°|и, а потому сжатие должно выражаться вполне уравнением:
С = а-+-с(р — 46)2 + (1(р — 46)3.
По данным приведенным на странице 88, испытаем эту Формулу для 0°. Для нахождения коэффициентов а, с и (1 по способу наименьших квадратов, составляем уравнения:
ап -Ь с 2 х ,2 И- (12 х.3 = 2ии . а 2х,2Ч-с2 х,4Н-(1 2х,5 = 2и.х.2 а 2х3 Н- с 2 х'5 -+-(12 х'.г' = 2ч'.хЛ
и ' I ' и II
Для простоты вычисления принимает значения х. и и те же, что и на сгр. 89. Подставляя уже известные нам суммы и решая уравнения, находим, что
а= 38,57, с = 20,7189,
(1=— 0,22933.
Следовательно
и = 38,57 -+- 20,7189 х2 — 0,22933 х3,
откуда заменяя и и х их значениями, получим:
С = 4,146143 — 0,0020718(р —46)2+0,000022933 (р — 46)я . . .ХХУИИ.
Вычисляем по этой Формуле значения С для данных на стр. 88 значений р:
|
Процентное содержание спирта. |
Сжатие при 0° по данным опыта. |
Сжатие при 0° по Формуле XXVII в предположении, что наибольшее сжатие со ответствует 46°/0- |
Разность. |
|
39,9 |
4,064 |
4,064 |
+ 0,000 |
|
40,1 |
4,069 |
4,069 |
-+- 0,000 |
|
42,0 |
4,114 |
4,111 |
-+- 0,003 |
|
43,8 |
4,133 |
4,136 |
— 0,003 |
|
45,0 |
4,146 |
4,144 |
-+- 0,002 |
|
45,7 |
4,149 |
4,146 |
и- 0,003 |
|
46,2 |
4,148 |
4,146 |
-1- 0,002 |
|
47,9 |
4,135 |
4,139 |
— 0,004 |
|
49,5 |
4,119 |
4,122 |
— 0,002 |
|
50,3 |
4,109 |
4,110 |
-Ч- 0,001 |
|
51,8 |
4,081 |
4,081 |
4- 0,000 |
|
53,9 |
4,028 |
4,028. |
ч- 0,000. |
Средняя разность (не принимая во внимание знака) равна 0,0016, что менее не только наибольшей погрешности в определении сжатия, но менее и средней ожидаемой погрешности, а потому предположение о со-
— 95 —
отвътствии точки наибольшого сжатия с содержанием 46% безводного спирта, вполне удовлетворяет Факту при 0°. То же относится и до других температур. Чтобы интерполировать все наблюденные значения величин сжатия, я употребил после нескольких проб, следующий способ. Нужно было выразить зависимость сжатия от процента и от температуры, допуская, что тахитит при всех температурах совпадает с 46"|„. Назовем сжатие прп переменной температуре I чрез Сг Очевидно, что можно положить
С,=Р„ (р)-1 Р, (ри).............XXVIII.
Значение Р() (р) уже определено. Это есть выражение сжатия при 0°; следовательно, нужно найдти К, (ри). Разнообразные пробы показали мне, что эту Функцию можно разложить на две, а именно, можно принять
Р, (р, I) = Рэ (р) Н- Р, (*),
а потому для отыскания Р3 (I) найдено было для каждого процента и каждой температуры значения Р (рг1).
Для Р3 (р) оказалось достаточно первого порядка и, что можно было и предвидеть из того, что для каждого значения р, удельные веса вполне достаточно выражаются 2-м порядком от и, а потому
Р3 (и) = а3 -+- Ь;,1.
Для определениа значений а3 и Ь3 взято было для каждой температуры среднее значение Р, (р, и) и этп значения были интерполированы по способу наименьших квадратов. Это показало, что
а., = 0,02652,
Ь;) = — 0,0001826.
Найденные значения Р3(1) были вычтены из значений Рх (р,и), что и дало значения Р.Лр). Для каждого процента было взято среднее значение и составленный таким образом ряд был интерполирован относительно (р — 46), совершенно таким же образом как в предшествующем интерполировании.
Для того чтобы при всех значениях 1, тахипшт сжатия соответствовал 46°, нужно, чтобы условие справедливое для Р„(р) повторялось и для Р2(р); то есть, чтобы здесь не было члена с (р — 46) в первой степени, а потому интерполирование было ведено по Формуле:
Р2 (р) = а2 -+- с.! (р — 46) 2 -ч- <12 (р — 46у1.
Отсюда все выражение для сжатия 1^=а ■—I— с (р — 46)“—}— <И(р—46)’* — 1—I- Со (р — 4(3)“ —I— <1-2 (р — 46)1 —{— а3 —Ь3 ^ ^ . . . XXIX.
Не привожу деталей всего этого вычисления, потому что они потребовали бы много места, а прямо привожу результат достигнутый ими, а именно—значения коэффициентов:
а = 4,14614; с = — 0,002072; .! = 0,0000229 а» = 0,000357; с» = — 0,00001664; = — 0,000001848. а3 = 0,026520; Ь:, = — 0,0001826.
Подставляя в Формулу XXIX значения р и и, данные на странице 88, замечаем, что различия вычисляемых и наблюденных сжатий не выходят из предела погрешностей, свойственных опытам. Наибольшая разность свойственна, как и должно было предвидеть, определениям сделанным при 30, наименьшая определениям при О и 15°.
И так предположение о совпадении наибольшого сжатия с 46°/,э при всех температурах, не ведет к разноречию между Фактами п вычислением, основанным на этом допущении, а потому может быть допущено.
Принять же это совпадение должно потому, что величина сжатия значительно изменяется с температурой и, не смотря на это изменение, точка наибольшого сжатия неизменяет своего места. Невозможно приписать такое явление какой либо другой причине, кроме образования более прочного соединения, чем
