— 100 —
Чтобы отыскать эмпирическое выражение для изменений удельного веса с процентным составом, я делал также многия попытки, надеясь найдти довольно простое эмпирическое выражение этой зависимости. Оказалось после первых испытаний, что ни для удельных весов, ни для сжатий недостаточно параболическое выражение даже 4 и 5-го порядков. Пробы для разложения в ряды логариѳмов тоже были безуспешны. Идти до высоких порядков при вычислении способом наименьших квадратов, я не решался, зная по опыту, сколь продолжительны, сложны и сопряжены с ошибками вычисления подобного рода. Чтобы сократить порядок интерполирования пробовал интерполировать первые и вторые разности, но безуспешно: даже вторые производные в пределе точности наблюдений не выражались параболическим уравнением четвертого порядка. Попытки мои, конечно, не пришли бы к концу, еслиб П. Л. Чебышев не указал мне своего способа, в удобстве и изяществе которого я многократно мог убедиться. Особенно важно в нем то, что можно идти до любого порядка, пробовать, достаточно ли данного порядка ии при этом не только весьма легко избежать ошибок, но, что весьма полезно, можно заметить весьма скоро сделанную ошибку; потому что при ошибке или вычисляемая сумма квадратов погрешностей выходит отрицательной, или же она неравна (или, точнее сказать, не близка) к действительной сумме квадратов погрешностей вычисления. Первые же попытки показали мне, что для полного выражения зависимости удельного веса от процента спирта, нужно параболическое уравнение по крайней мере 7-го порядка. Считаю приятным долгом заявить здесь о той готовности, с какой помогали мне своими советами многие и другие математики а особенно мои друзья и товарищи К. Д.Краевнч и М. А. Краковский. Многия вычисления, упоминаемые в моем труде, были произведены при содействии студента технологического института Я. К. Гутковского. Описанию самого интерполирования должно предпослать подготовку наблюдений, которая была вполне необходима.
Удельный вес спиртов есть Функция не только процентного содержания спирта, но и температуры *).
8 = Ф (р,1).
Но интерполирование но способу наименьших квадратов при двух переменных р (процент спирта) и и (температура) было бы весьма сложно. Его впрочем сразу возможно упростить, потому что вид Функции должен быть при параболическом интерполировании следующий:
8 = Ф (р,1) = 81+(и—V) Г(р,и) = а-ьЬр + ср2-+-......-Н.4—V) Г (Р *)■ XXXIII.
потому что при и = I,. 8 есть Функция только содержания спирта. Потому-то с самого начала можно нн-, терполировать для одной переменной, а именно для р, при какой-либо постоянной температуре и[. Должно конечно взять или температуру 0°, или температуру 15°, потому что прп этих температурах удельные веса заключают наименьшую погрешность (стр. 88). Выбор, пал на температуру I 5', потому что для нея имеется более всего наблюдений, да и в практике эта температура часто принимается за нормальную.
Вследствие этого первая подготовка данных состояла в том, чтобы, по определениям сделанным близ температуры I 5°, нандти удельный вес при 1 5°. Если удельный вес 8 дан при температуре
1 5 —I— и градусов, то
815 = 8-МД(и);
где Д( I) означает изменение удельного веса на 1 при температуре Эта величина найдена была
для каждой из первых 30 смесей и для ХХХИИ-й смеси по моим наблюдениям, а для смесей XXXI, ХХХШ и всех остальных, по данным Гильпин а. Способ нахождения здесь был совершенно такой же, какой описан на стр. 85 и 86.
Когда были таким образом найдены удельные веса для 15°, тогда я начал испытания разных способов интерполирования по степеням процентного содержания спирта. Это представило огромные не-
’) Конечно, также и давления.
— 107 —
удобства при некратности чисел, выражающих процентное содержание спирта и при большем числе данных. Для возвышений р в степени (напр. для 5-го порядка нужно возвышать р в 10-ю степень и суммировать) нельзя было пользоваться логариѳмами, пришлось производить чрезвычайно долгия и сопряженные с ошибками высчитывала. Чтобы устранить это неудобство и тем сократить и самое вычисление, я решился взять удельные веса только чрез равные промежутки, а именно чрез каждые 5"и(|. При составлении смешении я имел в виду делать определения около чрез каждые 5°/(,, а потому от КИИ до 25°/0 для 15 мне были известны удельные веса смесей близких к 25, 30, 35 и т. д. весовым презентам. Если дан удельный вес 8 при проценте р -+- г, а нужно было знать удельный вес прп проценте р. то
!>,, = 8 -Н г А ( р ),
где А (р) есть изменение удельного веса на один процент при р -(--^-процентах спирта. Чтобы найдтн А(р), я поступал подобно тому, как для нахождения А ( I). Привожу для ясности пример.
Найдены для температуры I 5° Ц. следующие удельные веса:
86022 при р = 74,932 87195 >■ >■. 70,016 «7230 >• - 66,870 88402 > » 64,903 89335 » » 60,873 89597 - » 59,732 90636 » - 55,187 90760 * '» 54,638.
Так-как между ними есть очень близкие и как при малой разности в удельных весах невозможно точное определение довольно значительного изменения удельного веса на один процент, то для соседних данных взято среднее и для удельного веса, и для процентного состава. Таким образом получены удельные веса при 1 5 .
86020 при р = 74,932 87213 » » 69,943 88402 ^ >■ 64,903 89466 >• >■ 60,302 90698 >■ 54,912.
В этих данных, конечно, заключается большая погрешность, чем в числах данных прямымъопы-том, но эта малая разность в степени точности не имеет влияния на вычисляемую поправку удельного веса, потому что и величина г и величина А( р), сравнительно, довольно малы, а вводимая в удельные веса погрешность (в 5-й десятичной] сравнительно с А (р) очень мала.
Из данных только что приведенных, вычисляем:
р,_1 — р,4
то есть делим разность в удельных весах на разность в процентах, что и дает изменение удельного веса на один процент или величину А (р). Вычисляемую из каждых двух ближайших данных величину А (р) относим к среднему проценту. Получается:
Прп р = 72,438 величина А (р ) равна 239,1 » » 67,423 » » 235,9
» » 62,602 » » 231,3
» 57,607 » » 228,6.
